Disciplina:

ANÁLISE III

Código

             MTM228

Departamento: MATEMÁTICA

Unidade: ICEB

Duração/Semanas

15

Carga Horária Semestral

90

Carga Horária

Semanal

Teórica

06

Prática

00

Estágio

00

Créditos

06

PRÉ-REQUISITOS

MTM251 – Introdução à Topologia dos Espaços Métricos

Ementa:

1. Espaços Vetoriais Normados
2. Aplicações Diferenciáveis
3. Classes de Diferenciabilidade
4. A Regra da Cadeia
5. A Desigualdade do Valor Médio

1. Derivadas Parciais
2. Teorema de Schwarz
3. A Fórmula de Taylor
4. Funções Implícitas
5. Integrais

OBJETIVOS

1. Estudar a Topologia dos Espaços Euclidianos e seus subconjuntos, destacando conceitos e características topológicas destes por meio de abertos e de sequencias.
2. Compreender como a Álgebra Linear naturalmente se vê necessária quando se considera Derivadas e Integrais em Espaços Euclidianos de dimensão maior que um. (E preparar o estudante para esta compreensão desde o principio do curso)
3. Desenvolver, estudar e discutir, do ponto de vista da Análise, alguns conceitos fundamentais do Cálculo para funções de várias variáveis com ênfase para Derivadas, Integrais e seus desdobramentos.
4. Estudar as integrais múltiplas, de um ponto de vista mais analítico (e algébrico), buscando apreciar os Teoremas Clássicos do Cálculo Vetorial em sua forma mais geral e unificada; também chamada de Teorema de Stokes.

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

1. espaços vetoriais normados

1.1.    Espaços Normados – Espaços Euclidianos

1.2.    Topologia, Métrica, Norma e Produto Interno

1.3.    Espaços de Transformações Lineares – Espaço Dual

1.4.    Bolas e Conjuntos Limitados

1.5.    Sequencias no Espaço Euclidiano

1. Limites e continuidade

2.1.    Aplicações Contínuas e Homeomorfismos

2.2.    Limites

2.3.    Conjuntos Abertos e Fechados

2.4.    Conjuntos Compactos e Conexos

2.5.    A Norma de uma Transformação Linear

1. Diferenciação

3.1.    Caminhos:

3.1.1.  Caminhos Diferenciáveis

3.1.2.  Integral de Caminhos

3.1.3.  Caminhos Retificáveis

3.2.    Funções Reais de n Variáveis:

3.2.1.  Derivadas Parciais

3.2.2.  Teorema de Schwarz

3.2.3.  Fórmula de Taylor

3.2.4.  Pontos Críticos

3.3.    Aplicações Diferenciáveis:

3.3.1.  A Derivada como Transformação Linear

3.3.2.  Regra da Cadeia

3.3.3.  Desigualdade do Valor Médio

3.3.4.  Diferenciabilidade Uniforme

3.3.5.  Funções de Classe e Derivadas de Ordem Superior;

1. FUNÇÕES IMPLICITAS

4.1.    O Teorema da Função Inversa;

4.2.    A Forma Local das Submersões;

4.3.    A Forma Local das Imersões;

4.4.    O Teorema do Posto.

1. integração

5.1.    Integrais Múltiplas e o Teorema de Fubini

5.2.    Conjuntos de Medida Nula

5.3.    Caracterização de Funções Integráveis

5.4.    Mudança de Variáveis em Integrais.

1. INTEGRAÇÃO EM CADEIAS

6.1.    A Diferencial Exterior

6.2.    Partições da Unidade

6.3.    Campos e Formas, Fundamentos Algébricos e Geométricos da Integração

6.4.    Integrais de Superfície

6.5.    O Teorema de Stokes

AVALIAÇÃO

Serão computados pontos distribuídos entre três provas e três trabalhos, distribuídos ao longo do andamento da disciplina. Para aprovação, o estudante deverá obter nota acima de 6.0. O estudante deve conhecer a Resolução  CEPE 2.880,  além das Resoluções CEPE Nº 1.280, Nº 2.390 e Nº 4.131. Mais detalhes consultar todos os itens do Manual Acadêmico disponível no site da UFOP.

METODOLOGIA

Durante as aulas priorizaremos apresentação da teoria, sessões de resolução de exercícios e discussões em geral. As aulas envolverão informações teóricas e exemplos que promovam a compreensão do estudante dos conceitos e objetos geométricos envolvidos, além de estarem previstas listas de exercícios e atividades programadas para serem feitas em casa e em sala. Estão previstas avaliações presenciais.

BIBLIOGRAFIA

TÍTULO DA OBRA

AUTOR

Análise no Espaço Rn

ELON LAGES LIMA

Curso de Análise Vol 2

ELON LAGES LIMA

Análise Real Vol 2

ELON LAGES LIMA

Calculus on Manifolds

MICHAEL SPIVAK

Mathemathical Analisys

TOM M. APOSTOL

Advanced Calculus

LYNN H. LOOMIS & SHLOMO STERNBERG

Introductory Functional Analisys with Applications

ERWIN KREYSZIG

Um Curso de Álgebra Linear

FLAVIO ULHOA COELHO & MARY LILIAN LOURENÇO

Espaços Métricos

ELON LAGES LIMA

Advanced Calculus

ROBERT CREIGHTON BUCK

 Real and Functional Analisys 3rd Ed.

 SERGE LANG