Equação de Schroedinger
1 - Mostre que a função de onda Y(x,t) = A exp(kx-wt) não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo e (b) mostre que Y(x,t) = A exp i(kx-wt) satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.
Solução
2 - Uma partícula de massa m e energia total zero encontra-se em uma região do espaço na qual sua função de onda é y(x) = C exp(-x2/L2). (a) Determine a energia potencial V da partícula em função de x; (b) faça um gráfico de V(x) em função de x.
3- Uma partícula possui uma função de onda dada por y(x) = A exp (-x2/2L2) e uma energia dada por , onde L é um comprimento. (a) Determine a energia potencial em função de x e faça um gráfico de V em função de x. (b) Qual tipo de potencial clássico tem esta forma? (c) Qual a energia cinética da partícula em função de x? (d) Mostre que x=L é o ponto de retorno clássico, (e) Compare V(x) encontrado no item a) com , relativo a um oscilador harmônico simples e mostre que a energia total pode ser escrita como .
Partícula livre
4 - A função de onda de uma partícula livre é dada por y (x) = Asen(kx).
(a) Encontre o valor de A que normaliza a função de onda em uma caixa de comprimento L.
(b) Calcule o valor esperado do momento da partícula.
(c) Calcule a energia total da partícula.
Degrau de potencial
5 - Considere um degrau de potencial tal que V=0 para x negativo e V=V0 para x positivo. Se um fluxo de partículas se aproxima do degrau vindo da direita (no sentido de x decrescente):
a) escreva as soluções da equação de Schrödinger para todos os valores de x deixando explícito quem são as funções de onda incidente, refletida e transmitida.
b) escreva uma expressão para o coeficiente de reflexão em função da energia da partícula (E) e da altura do degrau (V0).
6 - Uma partícula livre de massa m e número de onda k1 está viajando para a direita. No ponto x = 0, o potencial muda bruscamente de 0 para V0 e permanece com este valor para todos os valores positivos de x. Se a energia inicial da partícula é ,
a) Qual é o número de onda k2 na região x > 0?
b) Expresse a resposta em função de k1.
c) Calcule o coeficiente de reflexão R no degrau de potencial.
d) Qual é o valor do coeficiente de transmissão T?
e) A cada milhão de partículas com número de onda k1 que incidem no degrau de potencial, quantas partículas, em média, continuam a viajar no sentido positivo do eixo dos x? Como este valor se compara com a previsão clássica?
f) No exercício anterior considere que a partícula viaja sob ação de potencial nulo até x=0, no qual o potencial cai abruptamente para –V0. Calcule (a), (b), (c) e (d).
7 - Um feixe de prótons com uma energia cinética de 40 MeV incide em um degrau de potencial de 30 MeV.
(a) Que fração do feixe é refletida? Que fração é transmitida? Como se modificam os resultados se a energia dos prótons for de 20MeV?
(b) Responda ao item (a) supondo que as partículas são elétrons.
Solução
8 - Um feixe de elétrons com uma energia cinética de E = 2,0 eV incide em uma barreira de potencial de altura V0 = 6,5 eV e largura L = 5,0 x 10-10 m. Qual a fração dos elétrons que consegue transpor a barreira?
Solução
Poço de potencial infinito
9 - O comprimento de onda da luz emitida por um laser de rubi é 694,3 nm. Supondo que a emissão de um fóton deste comprimento de onda esteja associada à transição de um elétron do nível n = 2 para o nível n = 1 de um poço quadrado infinito, determine a largura L do poço. (Tipler 6-16)
Solução
10 - Uma partícula de massa m é confinada ao espaço unidimensional entre duas barreiras de potencial infinito e que distam L uma da outra. (Suponha que a energia potencial da partícula é nula na região de confinamento). A energia da partícula é quantizada pela condição de onda estacionaria nl/2 = L, onde n é um número inteiro é o comprimento de onda da partícula. (a) Mostre que as energias permitidas são dadas por En= n2E1, onde E1 = h2/8mL2. (b) Determine E1 para um elétron confinado na região de L = 0:1 nm de comprimento e faça um diagrama de níveis de energia para os estados de n = 1 até n = 5. (c) Calcule o comprimento de onda do fóton emitido por esse sistema quando o elétron sofre uma transição do estado n = 3 para o estado n = 1; e do Estado n = 5 para o estado n = 2.
11 - Nos primórdios da física nuclear, antes que o nêutron fosse descoberto, acreditava-se que o núcleo fosse constituído por elétrons e prótons. Considerando o núcleo como um poço quadrado infinito com L = 10 fm e ignorando efeitos relativísticos, calcule a energia do estado fundamental (a) para um elétron e (b) para um próton no interior do núcleo. (c) Determine a diferença de energia entre o estado fundamental e o primeiro estado excitado de cada partícula. (As diferenças entre os níveis de energia dos núcleos são da ordem de 1 MeV.)
12 - Uma partícula encontra-se em um poço quadrado infinito de largura L. Calcule a energia do estado fundamental (a) se a partícula é um próton e L = 0,1 nm, o tamanho aproximado de uma molécula; (b) se a partícula é um próton e L = 1 fm, o tamanho aproximado de um núcleo.
13 - Uma partícula encontra-se no estado fundamental em um poço quadrado infinito. Determine a probabilidade de a partícula ser encontrada no intervalo Dx = 0,002L em: (a) x=L/2; (b) x=2L/3; (c) x=L. (Como Dx é pequeno, não é necessário executar nenhuma integração.).
14 - Um elétron se encontra no estado n = 5 de um poço unidimensional quadrado infinito. (a) Mostre que a probabilidade de encontrar o elétron entre os pontos x = 0,2L e x = 0,4L é 1/5. (b) Calcule a probabilidade de encontrar o elétron em um intervalo Dx = 0,02L em torno do ponto x = L/2.
Solução
15 - Considere uma partícula no estado fundamental com energia En em um poço quadrado infinito. (a)Calcule <x>, <x2>, <p> e <p2> e (b) com a ajuda destes cálculos investigue a relação de incerteza para x e p em função de n. (Calcule sx=[<x2>-<x>2]1/2, sp=[<p2>-<p>2]1/2 e sxsp)
Poço quadrado finito
16 - Faça um gráfico (a) da função de onda e (b) da distribuição de probabilidade para o estado n = 4 do poço quadrado finito.
Equação de Schroedinger em três dimensões.
17 - Explique com palavras ou poucas equações os procedimentos utilizados na resolução da equação de Schrodinger em três dimensões para átomos hidrogenóides. Fale especialmente sobre a motivação para a escolha do sistema de coordenadas.
Átomo de hidrogênio
18 - Considere as funções de onda para o átomo de hidrogênio dadas abaixo e calcule para cada uma o valor da energia, módulo do momentum angular e a componente z do momentum angular. a) Ψ100; b) Ψ200; c) Ψ211; d) Ψ210; e) Ψ21-1; f) Ψ300; g) Ψ322; h) Ψ320;
19 - Utilize a expressão para a densidade de probabilidade radial e calcule a distancia mais provável entre o elétron e o núcleo no átomo de hidrogênio se ele estiver: No estado fundamental
20 - A função de onda radial normalizada para o estado 2p do átomo de hidrogênio e R2p(r)=(1/24a5)1/2rexp(-r/2a). Depois de fazermos a média das variáveis angulares, a função de probabilidade radial torna-se P(r)dr = (R2p)2r2dr. Em que valor de r a função P(r) e um Maximo para o estado 2p? Compare seus resultados com o raio do estado n=2 no modelo de Bohr.
21 - Mostre que o valor esperado do raio do elétron no estado fundamental do Hidrogênio e igual a 1,5 a0 (a0 e o raio de Bohr). Como você compatibiliza este resultado com o calculo anterior da distancia mais provável do elétron para este mesmo estado?
22 - Determine a probabilidade de encontrar o elétron em um intervalo Dr = 0,02 a0 com centro em a) r = a0 e b) r = 2 a0 para o estado n = 2, l = 0 e m = 0 do átomo de hidrogênio. Lembre que para estes cálculos, você pode obter uma resposta aproximada, mas com boa precisão, sem resolver as integrais. c) Faça os mesmos cálculos para o átomo no estado fundamental.
23 - Qual e a probabilidade de encontrar o elétron no átomo de hidrogênio (no estado fundamental): a) dentro do volume ocupado pelo núcleo (próton)? b) dentro da região limitada por r = a0.
24 - Interprete qualitativamente as figuras abaixo relativas ao átomo de hidrogênio. Em especial diga o que elas representam e interprete as semelhanças e diferenças entre elas.
25 - Um átomo de hidrogênio esta em um estado com n=4, l=1 e m=1. a) Se este átomo emitir um fóton, quais serão seus estados mais prováveis após a emissão deste fóton? b) Qual o número mínimo de transições necessárias para que ele chegue ao estado fundamental?
Solução
Oscilador Harmônico
Para o primeiro estado excitado (n = 1) do oscilador harmônico, determine: (a) C1; (b) <x>; (c) <x2>; (d) <p>; (e) <p2>; (f) <Epot>; (g) <Ecin>; (h) <Etot> e (i) a relação de incerteza de Heisenberg.